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鸭脖娱乐: 如何明白矩阵(1)?

时间:2021-10-08 16:03:01 点击次数:
本文摘要:

我认为这是我们的线性代数教学中直觉性丧失的结果。

我认为这是我们的线性代数教学中直觉性丧失的结果。上述这些涉及到“如何能”、“怎么会”的问题仅仅通过纯粹的数学证明往返答是不能令提问者满足的。好比如果你通过一般的证明方法论证了矩阵分块运算确实可行那么这并不能够让提问者的疑惑获得解决。

他们真正的困惑是:矩阵分块运算为什么竟然是可行的?究竟只是凑巧还是说这是由矩阵这种工具的某种本质所一定决议的?如果是后者那么矩阵的这些本质是什么?只要对上述那些问题稍加思量我们就会发现所有这些问题都不是单纯依靠数学证明所能够解决的。像我们的教科书那样凡事用数学证明最后造就出来的学生只能熟练地使用工具却欠缺真正意义上的明白。

线性空间与矩阵

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矩阵为什么可以分块盘算?分块盘算这件事情看上去是那么随意为什么竟是可行的?

今天先谈谈对线性空间和矩阵的几个焦点观点的明白。这些工具大部门是凭着自己的明白写出来的基本上不抄书可能有错误的地方希望能够被指出。

但我希望做到直觉也就是说能把数学背后说的实质问题说出来。

行列式究竟是一个什么工具?为什么会有如此怪异的盘算规则?行列式与其对应方阵本质上是什么关系?为什么只有方阵才有对应的行列式而一般矩阵就没有(不要以为这个问题很蠢如果须要针对 矩阵界说行列式不是做不到的之所以不做是因为没有这个须要可是为什么没有这个须要)?而且行列式的盘算规则看上去跟矩阵的任何盘算规则都没有直观的联系为什么又在许多方面决议了矩阵的性质?岂非这一切仅是巧合?

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事实上我并不是特例。一般工科学生初学线性代数通常都市感应难题。

这种情形在海内外皆然。瑞典数学家 在其名著 中说:“ 「如果不熟悉线性代数的观点要去学习自然科学现在看来就和文盲差不多。

”然而“根据现行的国际尺度线性代数是通过正义化来表述的它是第二代数学模型, 这就带来了教学上的难题。”事实上当我们开始学习线性代数的时候不知不觉就进入了“第二代数学模型”的领域当中这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化对于从小一直在“第一代数学模型”即以实用为导向的、详细的数学模型中学习的我们来说在没有并明确见告的情况下举行如此猛烈的 不感应难题才是奇怪的。

线性代数课程无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手从一开始就充斥着莫名其妙。好比说在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济《线性代数》课本(现在到了第六版)一上来就先容逆序数这个“前无昔人后无来者”的离奇观点然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的界说接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上再把那一列减过来折腾得那叫一个热闹可就是压根看不出这个工具有嘛用。

大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕:连这是个什么工具都模模糊糊的就开始钻火圈演出了这未免太“无厘头”了吧!于是开始有人逃课更多的人开始抄作业。这下就中招了因为其后的生长可以用一句峰回路转来形容紧随着这个无厘头的行列式的是一个同样无厘头可是伟大的无以复加的家伙的进场——矩阵来了!多年之后我才明确当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来而且不紧不慢地说:“这个工具叫做矩阵”的时候我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕!自那以后在险些所有跟“学问”二字稍微沾点边的工具里矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说矩阵老大的不请自来通常搞得我灰头土脸头破血流。

恒久以来我在阅读中一见矩阵就如同阿Q见到了假洋鬼子揉揉额角就绕道走。

由许多(实际上是无穷多个)位置点组成;

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矩阵的乘法例则究竟为什么这样划定?为什么这样一种怪异的乘法例则却能够在实践中发挥如此庞大的功效?许多看上去似乎是完全不相关的问题最后竟然都归结到矩阵的乘法这岂非不是很奇妙的事情?岂非在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面包罗着世界的某些本质纪律?如果是的话这些本质纪律是什么?

这些点之间存在相对的关系;

可以在空间中界说长度、角度;

特征值和特征向量的本质是什么?它们界说就让人很惊讶因为 λ 一个诺大的矩阵的效应竟然不外相当于一个小小的数 λ 确实有点奇妙。但何至于用“特征”甚至“本征”来界定?它们刻划的究竟是什么?

矩阵究竟是什么工具?向量可以被认为是具有 个相互独立的性质(维度)的工具的表现矩阵又是什么呢?我们如果认为矩阵是一组列(行)向量组成的新的复合向量的展开式那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用?特别是为什么偏偏二维的展开式如此有用?如果矩阵中每一个元素又是一个向量。


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